Progressão Aritmética (P.A.)
É uma sequência numérica de termos finitos ou infinitos na qual a diferença entre dois termos consecutivos (um após o outro) é sempre a mesma.
RAZÃO: a diferença entre dois termos consecutivos.
Na progressão aritmética podemos ter:
P.A FINITA => Sequência de números já definidos: (4,7,10,13,16).
P.A INFINITA => Sequência de números indicada por reticencias(…): (70,60,50,40,30…)
TERMO: Cada termo da P.A. é indicada pela posição que se ocupa na sequência. Os termos da P.A. são indicados normalmente por α e, em seguida, pela sua posição.
Exemplo: Na sequência a seguir o é 6 = (2,4,6,8,10).
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.:
CONSTANTE: razão é igual a zero (2,2,2,2,…) r = 0
CRESCENTE: razão é maior que zero (2,4,6,8,10…) r = 2
DECRESCENTE: razão é menor que zero (15,10,5,0,-5…) r = -5
FÓRMULA DO TERMO GERAL
Podemos obter um termo de uma P.A. conhecendo apenas o primeiro termo e a razão:
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:
Progressão Geométrica (P.G.)
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. Essa constante é chamada razão da P.G e é indicada por q.
A razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero .
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.
CONSTANTE: razão é igual a um (2,2,2,2,…) q = 1
CRESCENTE: razão é sempre positiva e maio que zero formada por uma sequência crescente: (1, 3, 9, 27, 81, …) = 3
DECRESCENTE: razão é sempre positiva e diferente de zero, a sequência é formada por números que decrescem (-1, -3, -9, -27, -81, …) = 3
OSCILANTE: razão é negativa, a sequência é formada por números negativos e positivos: (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde q = -2
FORMULA DO TERMO GERAL
A fórmula para encontrar o termo geral de uma Progressão Geométrica é:
SOMA DOS TERMOS DA PG
A fórmula para calcular a soma dos termos de uma Progressão Geométrica é:
EXERCÍCOS
- (OBMEP) Qual a quantidade de termos da progressão geométrica
1, 3, 9, 27, …, an
sabendo que a soma desses n termos é igual a 3280?
- (OBMEP) Seja (b1,b2,b3,b4) uma progressão geométrica de razão= 1/3 . Se b1 +b2 +b3 +b4 = 20, então qual o valor de b4?
- (ENEM 2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a
A 300.
B 420.
C 540.
D 660.
E 1 020.
- (ENEM 2010) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
A 9
B 45
C 64
D 81
E 285
- (ENEM 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
A P(t)=0,5t−1+8000P
B P(t)=50t−1+8000
C P(t)=4000t−1+8000
D P(t)=8000⋅(0,5)t−1
E P(t)=8000⋅(1,5)t−1
- (OBEMEP) Maria começou a guardar moedas de 1 real com o intuito de juntar dinheiro para comprar um celular em 6 meses. Ela começou com dois reais e a cada dia juntava mais 3 reais do lanche, como ilustra a figura abaixo.
Ao final de 182 dias quanto dinheiro ela terá guardado?
- (ENEM 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça.
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é
A R$512 000,00.
B R$520 000,00.
C R$528 000,00.
D R$552 000,00.
E R$584 000,00.
- (ENEM 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente:
A 12 dias.
B 13 dia
C 14 dias.
D 15 dias.
E 16 dias.
- (ENEM 2013) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário?
A 7
B 8
C 9
D 12
E 13
- (ENEM 2012) Um jovem lança uma bola de borracha para observar sua trajetória e altura h (em metros) atingida ao longo de um certo intervalo de tempo t (em segundos). Nesse intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, perdendo altura progressivamente. Parte de sua trajetória está descrita na figura a seguir.
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde constatar que a bola atingiu a marca de 35 metros?
A Nenhuma.
B Uma vez.
C Duas vezes.
D Quatro vezes.
E Cinco vezes.
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIO:
CURIOSIDADES:
- O cálculo rápido de Gauss
A progressão aritmética foi descoberta pelo Príncipe da Matemática Johann Carl Friedrich Gauss, que no meio de uma aula na qual participava, seu professor, para obter o silencio dos alunos da classe, pediu que somassem todos os números de 01 a 100.
Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050.
Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101… Conforme esquema representativo abaixo.
Assim, ele percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050.
- A reflexão de Fibonacci
No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, refletiu sobre a reprodução de coelhos ao observá-los quando visitou uma fazenda. Sendo que cada casal gere um novo casal, que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mês em mês fica formada uma sequência especial de números naturais que podemos representar resumidamente conforme abaixo:
Mês – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…
Casais – 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, …
Assim, Fibonacci extraiu a sequência em que cada termo representa o número de casais de coelhos: (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, …)
Essa sequência, em sua homenagem recebeu o nome de “Sequência de Fibonacci” e é formada pela soma de cada numeral com o número que o antecede.
No entanto, a Sequência de Fibonacci está inserida em vários fenômenos do cotidiano do ser humano, na natureza, e até em alguns animais. Ela pode ser aplicada em inúmeros casos da matemática, como também na ciência da computação e na teoria de jogos.
E ainda ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, pode ser construído um retângulo com características específicas, chamado de Retângulo de Ouro. Se trata de uma forma geométrica com a seguinte propriedade: se o dividirmos em um quadrado e em um outro retângulo, o novo retângulo será semelhante ao original.
- Espiral de Fibonacci
A partir daí, se desenharmos um arco seguindo a sequência numérica dentro desse retângulo, é possível traçar uma espiral perfeita, a chamada Espiral de Fibonacci.
Os números da Sequência de Fibonacci formam o que se conhece como proporção áurea, um conceito visual amplamente difundido nas artes plásticas, nas obras primas da história do mundo, da arquitetura e design, por ser harmônico para os olhos humanos. O valor da proporção áurea é de aproximadamente 1,618, o chamado número Φ (Phi), que é obtido quando se divide um número com o seu antecessor da sequência de Fibonacci. Veja alguns exemplos:
Caracol
Furacão
O Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci
A Criação de Adão, de Michelangelo
Mona Lisa, de Leonardo Da Vinci
REFERÊNCIAS:
.https://www.todamateria.com.br/progressao-aritmetica/
Banco de Questões Obmep: http://www.obmep.org.br/
Banco de Questões Enem: https://enem.inep.gov.br/
.https://www.todamateria.com.br/progressao-geometrica/
