Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadrada de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”.
Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária.
O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido pelas operações:
Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
Adição: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Unidade Imaginária (i)
Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1). Logo:
i . i = –1 ↔ i2 = –1
Assim, i é a raiz quadrada de –1.
Forma Algébrica de Z
A forma algébrica de Z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:
Z = x + yi
Onde: •x é um número real indicado por x = Re (Z), sendo chamado de parte real de Z. •y é um número real indicado por y = Im (Z), sendo chamado de parte imaginária de Z
Exemplos de números complexos: a)5 + 2i, onde 5 é o numero real e 2i é numero imaginário.
x= 5 e y=2
Conjugado de um Número Complexo
O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z̅ = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.
Então, se z = a + bi, logo z̅ = a – bi
Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.
Ex:
Adição
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
Na forma algébrica, temos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
Exemplo:
(2 +3i) + (–4 + 5i) (2 – 4) + i (3 + 5) –2 + 8i
Subtração
Z1 – Z2 = (a – c, b – d)
Na forma algébrica, temos:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)
Exemplo:
(4 – 5i) – (2 + i) (4 – 2) + i (–5 –1) 2 – 6i
Multiplicação
(a, b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)
Na forma algébrica, usamos a propriedade distributiva:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1) (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd (a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)
Sabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a + bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z. Por exemplo, para o número complexo z = 3 + 5i, temos a = 3 e b = 5 ou Re(z) = 3 e Im(z) = 5. Os números complexos também possuem uma forma trigonométrica ou polar, que será demonstrada com base no argumento de z (para z ≠ 0). Considere o número complexo z = a + bi, em que z ≠ 0, dessa forma temos que: cosӨ = a/p e senӨ = b/p. Essa relações podem ser escritas de outra forma, acompanhe: cosӨ = a/p → a = p*cosӨ senӨ = b/p → b = p*senӨ
Vamos substituir os valores de a e b no complexo z = a + bi. z = p*cosӨ + p*senӨi → z = p*( cosӨ + i*senӨ)
EXEMPLO:
Represente trigonometricamente o complexo z = –√3 + i. Resolução: a = –√3 e b = 1
EXERCICIOS
1- Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?
a) 2 + 3i e 1 – i b) 3 + 2i e -4 – i c) 4 + 3i e 2 – i d) 1 + 2i e -3 – i
2 – Se z = (2 + i) ∙ (1 + i) ∙ i, então z, o conjugado de z, será dado por:
a)−3 − i
b) 1 − 3i
c)3 − i
d)−3 + i
e)3 + i
3) Seja z = (m2 – 5m + 6) + (m2 – 1)·i, quais seriam os valores de m para que z fosse um imaginário puro?
a) 2 ou 3
b) Apenas 2
c) Apenas 3
d) 0 e 1
e) Apenas 0
4) O valor de z8, para z = 2 – 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)
a) 3024 b) 4096 c) 5082 d) 1294
5) Qual é o valor, aproximado, da divisão do número complexo (22 + 41i)
pelo número complexo (37 – 35i) ?
a) 0,14 + 0,76i
b)– 0,14 + 0,76i
c)0,24 + 0,88i
d)– 0,24 + 0,88i
6) Considere os números complexos z = i × (5 + 2i) e w = 3 + i , onde i2 = –1.
Sendo o conjugado complexo de z, é CORRETO afirmar que a parte real de
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do ensino médio: volume 1. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
ROTEIROS DE ACÃO – Números Complexos – Curso de Aperfeiçoamento oferecido por CECIERJ referente ao 3º ano do Ensino Médio – 3º bimestre/2013 http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/. Acessado em 25/10/2020.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Inez. Matemática: ensino médio (pp. 236-247). 6° ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
É uma sequência numérica de termos finitos ou infinitos na qual a diferença entre dois termos consecutivos (um após o outro) é sempre a mesma.
RAZÃO: a diferença entre dois termos consecutivos.
Na progressão aritmética podemos ter: P.A FINITA => Sequência de números já definidos: (4,7,10,13,16). P.A INFINITA => Sequência de números indicada por reticencias(…): (70,60,50,40,30…)
TERMO: Cada termo da P.A. é indicada pela posição que se ocupa na sequência. Os termos da P.A. são indicados normalmente por α e, em seguida, pela sua posição. Exemplo: Na sequência a seguir o é 6 = (2,4,6,8,10).
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A.:
CONSTANTE: razão é igual a zero (2,2,2,2,…) r = 0 CRESCENTE: razão é maior que zero (2,4,6,8,10…) r = 2 DECRESCENTE: razão é menor que zero (15,10,5,0,-5…) r = -5
FÓRMULA DO TERMO GERAL
Podemos obter um termo de uma P.A. conhecendo apenas o primeiro termo e a razão:
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:
Progressão Geométrica (P.G.)
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. Essa constante é chamada razão da P.G e é indicada por q. A razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero .
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.
CONSTANTE: razão é igual a um (2,2,2,2,…) q = 1 CRESCENTE: razão é sempre positiva e maio que zero formada por uma sequência crescente: (1, 3, 9, 27, 81, …) = 3 DECRESCENTE: razão é sempre positiva e diferente de zero, a sequência é formada por números que decrescem (-1, -3, -9, -27, -81, …) = 3 OSCILANTE: razão é negativa, a sequência é formada por números negativos e positivos: (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde q = -2
FORMULA DO TERMO GERAL
A fórmula para encontrar o termo geral de uma Progressão Geométrica é:
SOMA DOS TERMOS DA PG
A fórmula para calcular a soma dos termos de uma Progressão Geométrica é:
EXERCÍCOS
(OBMEP) Qual a quantidade de termos da progressão geométrica 1, 3, 9, 27, …, an sabendo que a soma desses n termos é igual a 3280?
(OBMEP) Seja (b1,b2,b3,b4) uma progressão geométrica de razão= 1/3 . Se b1 +b2 +b3 +b4 = 20, então qual o valor de b4?
(ENEM 2018) Alguns modelos de rádios automotivos estão protegidos por um código de segurança. Para ativar o sistema de áudio, deve-se digitar o código secreto composto por quatro algarismos. No primeiro caso de erro na digitação, a pessoa deve esperar 60 segundos para digitar o código novamente. O tempo de espera duplica, em relação ao tempo de espera anterior, a cada digitação errada. Uma pessoa conseguiu ativar o rádio somente na quarta tentativa, sendo de 30 segundos o tempo gasto para digitação do código secreto a cada tentativa. Nos casos da digitação incorreta, ela iniciou a nova tentativa imediatamente após a liberação do sistema de espera. O tempo total, em segundo, gasto por essa pessoa para ativar o rádio foi igual a A 300. B 420. C 540. D 660. E 1 020.
(ENEM 2010) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? A 9 B 45 C 64 D 81 E 285
(ENEM 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria. A P(t)=0,5t−1+8000P B P(t)=50t−1+8000 C P(t)=4000t−1+8000 D P(t)=8000⋅(0,5)t−1 E P(t)=8000⋅(1,5)t−1
(OBEMEP) Maria começou a guardar moedas de 1 real com o intuito de juntar dinheiro para comprar um celular em 6 meses. Ela começou com dois reais e a cada dia juntava mais 3 reais do lanche, como ilustra a figura abaixo.
Ao final de 182 dias quanto dinheiro ela terá guardado?
(ENEM 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1 380 metros da praça. Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8 000,00 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é A R$512 000,00. B R$520 000,00. C R$528 000,00. D R$552 000,00. E R$584 000,00.
(ENEM 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro. Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010. Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente: A 12 dias. B 13 dia C 14 dias. D 15 dias. E 16 dias.
(ENEM 2013) Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados. Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de treinamento, por quantos dias consecutivos esse chip poderá armazenar a quilometragem desse plano de treino diário? A 7 B 8 C 9 D 12 E 13
(ENEM 2012) Um jovem lança uma bola de borracha para observar sua trajetória e altura h (em metros) atingida ao longo de um certo intervalo de tempo t (em segundos). Nesse intervalo, a bola quica no chão algumas vezes, perdendo altura progressivamente. Parte de sua trajetória está descrita na figura a seguir.
Em suas observações, quantas vezes o jovem pôde constatar que a bola atingiu a marca de 35 metros? A Nenhuma. B Uma vez. C Duas vezes. D Quatro vezes. E Cinco vezes.
A progressão aritmética foi descoberta pelo Príncipe da Matemática Johann Carl Friedrich Gauss, que no meio de uma aula na qual participava, seu professor, para obter o silencio dos alunos da classe, pediu que somassem todos os números de 01 a 100. Em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101… Conforme esquema representativo abaixo.
Assim, ele percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050.
A reflexão de Fibonacci
No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, refletiu sobre a reprodução de coelhos ao observá-los quando visitou uma fazenda. Sendo que cada casal gere um novo casal, que dará origem a um novo par no segundo mês de vida, e assim sucessivamente, de mês em mês fica formada uma sequência especial de números naturais que podemos representar resumidamente conforme abaixo: Mês – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,… Casais – 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, … Assim, Fibonacci extraiu a sequência em que cada termo representa o número de casais de coelhos: (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, …)
Essa sequência, em sua homenagem recebeu o nome de “Sequência de Fibonacci” e é formada pela soma de cada numeral com o número que o antecede.
No entanto, a Sequência de Fibonacci está inserida em vários fenômenos do cotidiano do ser humano, na natureza, e até em alguns animais. Ela pode ser aplicada em inúmeros casos da matemática, como também na ciência da computação e na teoria de jogos. E ainda ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, pode ser construído um retângulo com características específicas, chamado de Retângulo de Ouro. Se trata de uma forma geométrica com a seguinte propriedade: se o dividirmos em um quadrado e em um outro retângulo, o novo retângulo será semelhante ao original.
Espiral de Fibonacci
A partir daí, se desenharmos um arco seguindo a sequência numérica dentro desse retângulo, é possível traçar uma espiral perfeita, a chamada Espiral de Fibonacci.
Os números da Sequência de Fibonacci formam o que se conhece como proporção áurea, um conceito visual amplamente difundido nas artes plásticas, nas obras primas da história do mundo, da arquitetura e design, por ser harmônico para os olhos humanos. O valor da proporção áurea é de aproximadamente 1,618, o chamado número Φ (Phi), que é obtido quando se divide um número com o seu antecessor da sequência de Fibonacci. Veja alguns exemplos:
O que são ângulos ? ângulos são duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e são medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema Internacional.
Tipos de ângulos
Conforme as suas medidas, os ângulos são classificados em agudo, reto, obtuso e raso, observe a figura abaixo.
Ângulo agudo
Chamamos de ângulo agudo quando a sua abertura em grau é maior do que 0° e menor que 90°.
Ângulo reto
Na geometria e trigonometria, um ângulo reto é um ângulo de exatamente 90° (graus), correspondendo a um quarto de volta.
Ângulo obtuso
Chamamos de ângulo obtuso quando a sua abertura em grau é maior do que 90° e menor que 180°.
Ângulo raso
Na geometria e trigonometria, um ângulo raso é um ângulo de exatamente 180° (graus), correspondendo a meia volta.
Ângulos Complementares
Ângulos Complementares são ângulos que juntos somam 90º. Em um ângulo reto dividido em duas partes, cada uma delas representa um complemento da outra.
Na imagem abaixo, o ângulo AÔC (de 60º) complementa o ângulo CÔB (de 30º). Ao mesmo tempo acontece o inverso, ou seja, o ângulo CÔB complementa o ângulo AÔC.
AÔC + CÔB = 90º
Cálculo dos ângulos complementares
Para calcular os valores das medidas dos ângulos complementares, é necessário subtrair 90° pelo seu complemento, uma vez que a soma dos ângulos totaliza um ângulo reto (valor equivalente a 90 graus).Observe a partir da equação citada a seguir:
A + B = 90°
A = 90° – B
B = 90° – A
Exemplo: Determine a medida do ângulo complementar considerando que um deles tem 37°.
A + B = 90°
37° + B = 90°
B = 90 – 37°
B = 53°
Ângulos suplementares
Ângulos suplementares são dois ângulos que, somados, são iguais a 180º, assim, um é o suplemento do outro.
α + β = 180º
α = 180º – β
β = 180º – α
Exemplo: Determine a medida do ângulo suplementar considerando que um deles tem 60°.
α + β = 180°
60° + β = 180°
β = 180° – 60°
β = 120°
Ângulos adjacentes
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Exercícios
1. Calcule o complemento do ângulo de 53º.
2. Com base na figura abaixo, encontre os ângulos adjacentes:
3. Dois ângulos são suplementares. Um deles mede 93°. Qual a medida do outro?
4. Com base em seus estudos, denomine os ângulos abaixo em agudo, reto, obtuso ou raso.
a) 135º
b) 90º
c) 180º
d) 37º
Resoluções dos exercícios
1. A + B = 90º
53º + B = 90º
B = 90º – 53º
B = 37º
2. AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
3. α + β = 180°
93° + β = 180°
β = 180° – 93°
β = 87°
4. a) Obtuso.
b) Reto.
c) Raso.
d) Agudo.
Algumas curiosidades
1. A noção de ângulo é muito antiga. Ela já aparecia na construção das pirâmides do Egito ou nos estudos astronômicos antigos. Os ângulos também tiveram sua importância na época das grandes navegações, tanto para a construção das embarcações quanto para cálculo das rotas marítimas.
2. VAMOS TENTAR MEDIR UM ÂNGULO, SEM FERRAMENTAS, SOMENTE COM AS MÃOS.
Um palmo, a distância entre a ponta do polegar e a ponta do dedo mínimo com a mão aberta, à distância do comprimento do braço, é visto sob um ângulo de aproximadamente 20 graus.
3. A largura de seu punho fechado é visto sob um ângulo de 10 graus, ou meio palmo. Em outros países costuma-se usar a palma, a largura da palma da mão.
4. A largura de seu punho fechado é visto sob um ângulo de 10 graus, ou meio palmo. Em outros países costuma-se usar a palma, a largura da palma da mão.
Aperfeiçoando e expandindo o conhecimento
O link abaixo é referente à uma playlist do youtube, da professora Angela Pereira que tras uma oportunidade maior de se aprofundar e entender o conteúdo.
“Exercícios de Ângulos” em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020.Disponível em: https://www.somatematica.com.br/soexercicios/angulos. Acesso em 23 de out 2020.
“A matemática e seus ângulos” em Simples Matemática,2012-2020.Disponível em: http://a-simples-matematica.blogspot.com/2012/03/curiosidades.html. Acesso em 23 de out de 2020.
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. “Ângulos”; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos.htm. Acesso em 23 de outubro de 2020.
Paulo, Luiz. ” ângulos”; Mundo Educação. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm. Acesso em 23 de outubro de 2020.
FRAÇÕES – UMA PARTE IMPORTANTE DO PROCESSO DE APRENDIZAGEM
“Dedique seu tempo às coisas que irão te fazer crescer.“
Autor desconhecido
Neste post você aprenderá sobre frações e como operar com elas. Iremos trabalhar com vídeos para melhor explicação, e estou deixando logo abaixo, um slide com um material de apoio interessante.
Um auxiliar de enfermagem deve trabalhar 30 horas semanais. Devido a um acúmulo de serviço na semana passada, ele precisou fazer 12 horas extras. A fração que corresponde a quanto ele trabalhou a mais do que o previsto é
Alguns quadriláteros possuem nomes específicos: trapézios e paralelogramos, vamos estuda-los? Veja:
Trapézio
Denomina-se trapézio, um quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos de medidas diferentes.
Em qualquer trapézio ABCD (nessa ordem) de base AB e CD, temos que os ângulos adjacentes dos lados não paralelos possuem soma igual a 180°.
Base média
Definindo um ponto médio em cada um dos lados não paralelos de um trapézio, e passando por eles um segmento, este segmento formado é denominado base média.
A base média de um trapézio possui medida igual a semissoma das medidas das outras bases, logo:
Classificação dos trapézios
Os trapézios podem ser classificados em: isósceles, retângulos e escalenos.
Paralelogramo
Paralelogramo é um quadrilátero convexo cujos lados opostos são paralelos. Veja:
Existem alguns paralelogramos com características particulares classificados em retângulos, losangos e quadrados.
Retângulo
Retângulo é um paralelogramo cujos ângulos internos são congruentes entre si.
Uma vez que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°, a medida de cada ângulo interno de um retângulo é sempre igual a 90°.
Veja:
Losango
Losango é um paralelogramo cujos lados possuem uma mesma medida.
Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.
Quadrado
Quadrado é um paralelogramo cujos lados são congruentes (possuem uma mesma medida) entre si e os ângulos internos são congruentes entre si, cada ângulo interno de um quadrado é sempre igual a 90°.
Logo, todo quadrado é retângulo e losango.
Propriedades dos paralelogramos
Em todos paralelogramos podemos observar que:
a) Qualquer diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
b) Dois ângulos opostos quaisquer são congruentes;
c) Dois lados opostos quaisquer são congruentes.
Demonstração
Considere um paralelogramo ABCD qualquer e trace uma diagonal, formando dois triângulos: BCD e DAB.
Pela regra dos ângulos alternos internos temos que a med(F) = med(G) e med(Ê) = med(H), pois são as medidas dos ângulos alternos internos.
Pelo caso de congruência de triângulos ALA (ângulo – lado – ângulo):
∆BCD ≡ ∆DAB, logo, a propriedade a) é verdadeira.
Se AB ≡ CD e BC ≡ DA, os lados opostos são congruentes, o que prova c).
Como ∆BCD ≡ ∆DAB, med(F) = med(G) e med(Ê) = med(H) e a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, os ângulos opostos B e D são congruentes, mostrando assim que b) é verdadeira.
Existem ainda outras propriedades relativas aos paralelogramos como:
Em todo paralelogramo, as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.
Vídeo explicativo: “Quadriláteros notáveis trapézio e paralelogramo”