Fundamental

O que são ângulos ?

O que são ângulos ? ângulos são duas semirretas que têm a mesma origem, no vértice, e são medidos em grau (º) ou em radiano (rad), de acordo com o Sistema Internacional.

 

  Tipos de ângulos

Conforme as suas medidas, os ângulos são classificados em agudo, reto, obtuso e raso, observe a figura abaixo.

Ângulo agudo 

Chamamos de ângulo agudo quando a sua abertura em grau é maior do que 0° e menor que 90°.

Ângulo reto

Na geometria e trigonometria, um ângulo reto é um ângulo de exatamente 90° (graus), correspondendo a um quarto de volta.

Ângulo obtuso

Chamamos de ângulo obtuso quando a sua abertura em grau é maior do que 90° e menor que 180°.

Ângulo raso

Na geometria e trigonometria, um ângulo raso é um ângulo de exatamente 180° (graus), correspondendo a meia volta.

    Ângulos Complementares

Ângulos Complementares são ângulos que juntos somam 90º. Em um ângulo reto dividido em duas partes, cada uma delas representa um complemento da outra.

Na imagem abaixo, o ângulo AÔC (de 60º) complementa o ângulo CÔB (de 30º). Ao mesmo tempo acontece o inverso, ou seja, o ângulo CÔB complementa o ângulo AÔC.

AÔC + CÔB = 90º

Cálculo dos ângulos complementares

Para calcular os valores das medidas dos ângulos complementares, é necessário subtrair 90° pelo seu complemento, uma vez que a soma dos ângulos totaliza um ângulo reto (valor equivalente a 90 graus).Observe a partir da equação citada a seguir:

A + B = 90°

A = 90° – B

B = 90° – A

Exemplo: Determine a medida do ângulo complementar considerando que um deles tem 37°.

A + B = 90°

37° + B = 90°

B = 90 – 37°

B = 53°

Ângulos suplementares

Ângulos suplementares são dois ângulos que, somados, são iguais a 180º, assim, um é o suplemento do outro.

α + β = 180º

α = 180º – β

β = 180º – α

Exemplo: Determine a medida do ângulo suplementar considerando que um deles tem 60°.

α + β = 180°

60° +  β = 180°

β = 180° – 60°

β = 120°

Ângulos adjacentes

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

Exercícios

1. Calcule o complemento do ângulo de 53º.

2. Com base na figura abaixo, encontre os ângulos adjacentes:

3. Dois ângulos são suplementares. Um deles mede 93°. Qual a medida do outro?

4. Com base em seus estudos, denomine os ângulos abaixo em agudo, reto, obtuso ou raso.

a) 135º                               

b) 90º

c) 180º

d) 37º

Resoluções dos exercícios

1. A + B = 90º

    53º + B = 90º

    B = 90º – 53º

    B = 37º

2. AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

3.  α + β = 180°

     93° +  β = 180°

     β = 180° – 93°

     β = 87°

4. a) Obtuso.

    b) Reto.

    c) Raso.

    d) Agudo.

Algumas curiosidades

1. A noção de ângulo é muito antiga. Ela já aparecia na construção das pirâmides do Egito ou nos estudos astronômicos antigos. Os ângulos também tiveram sua importância na época das grandes navegações, tanto para a construção das embarcações quanto para cálculo das rotas marítimas.

2. VAMOS TENTAR MEDIR UM ÂNGULO, SEM FERRAMENTAS, SOMENTE COM AS MÃOS.

Um palmo, a distância entre a ponta do polegar e a ponta do dedo mínimo com a mão aberta, à distância do comprimento do braço, é visto sob um ângulo de aproximadamente 20 graus.

3. A largura de seu punho fechado é visto sob um ângulo de 10 graus, ou meio palmo. Em outros países costuma-se usar a palma, a largura da palma da mão.

4. A largura de seu punho fechado é visto sob um ângulo de 10 graus, ou meio palmo. Em outros países costuma-se usar a palma, a largura da palma da mão.

Aperfeiçoando e expandindo o conhecimento

O link abaixo é referente à uma playlist do youtube, da professora Angela Pereira que tras uma oportunidade maior de se aprofundar e entender o conteúdo.

• https://www.youtube.com/playlist?list=PLougO8IRm3JYgXUl5DqzgZCgWf9kwX47H

Referências

“Exercícios de Ângulos” em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020.Disponível em: https://www.somatematica.com.br/soexercicios/angulos. Acesso em 23 de out 2020.

“A matemática e seus ângulos” em Simples Matemática,2012-2020.Disponível em: http://a-simples-matematica.blogspot.com/2012/03/curiosidades.html. Acesso em 23 de out de 2020.

Fernandes, Ruan. Educa mais Brasil,2019.Pré-ENEM. Disponível em: https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/angulos/. Acesso em: 22 out. 2020.

Gouveia, Rosimar. Toda Matéria, 2018. Conteúdos escolares. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/angulos/. Acesso em: 23 out. 2020.

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. “Ângulos”; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/angulos.htm. Acesso em 23 de outubro de 2020.

Paulo, Luiz. ” ângulos”; Mundo Educação. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/angulos.htm. Acesso em 23 de outubro de 2020.

Sala de Atividades: Brincando com trigonometria

Um quadrilátero é um polígono que tem 4 lados, 4 vértices, 4 ângulos externos, 4 ângulos internos e 2 diagonais.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°. Logo, nos quadriláteros convexos, a soma dos ângulos internos é igual a 360°.

Clique no link abaixo e acesse uma animação do caso acima descrito:
https://www.geogebra.org/m/E9DYtnqY

Alguns quadriláteros possuem nomes específicos: trapézios e paralelogramos, vamos estuda-los? Veja:

Trapézio

Denomina-se trapézio, um quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos de medidas diferentes.

Em qualquer trapézio ABCD (nessa ordem) de base AB e CD, temos que os ângulos adjacentes dos lados não paralelos possuem soma igual a 180°.

Base média

Definindo um ponto médio em cada um dos lados não paralelos de um trapézio, e passando por eles um segmento, este segmento formado é denominado base média.

A base média de um trapézio possui medida igual a semissoma das medidas das outras bases, logo:

Classificação dos trapézios

Os trapézios podem ser classificados em: isósceles, retângulos e escalenos.

Paralelogramo

Paralelogramo é um quadrilátero convexo cujos lados opostos são paralelos. Veja:

Existem alguns paralelogramos com características particulares classificados em retângulos, losangos e quadrados.

Retângulo

Retângulo é um paralelogramo cujos ângulos internos são congruentes entre si.

Uma vez que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°, a medida de cada ângulo interno de um retângulo é sempre igual a 90°.

Veja:

Losango

Losango é um paralelogramo cujos lados possuem uma mesma medida.

Em um losango, as diagonais são perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado

Quadrado é um paralelogramo cujos lados são congruentes (possuem uma mesma medida) entre si e os ângulos internos são congruentes entre si, cada ângulo interno de um quadrado é sempre igual a 90°.

Logo, todo quadrado é retângulo e losango.

Propriedades dos paralelogramos

Em todos paralelogramos podemos observar que:

Demonstração

Considere um paralelogramo ABCD qualquer e trace uma diagonal, formando dois triângulos: BCD e DAB.

Pela regra dos ângulos alternos internos temos que a med(F) = med(G) e med(Ê) = med(H), pois são as medidas dos ângulos alternos internos.

Pelo caso de congruência de triângulos ALA (ângulo – lado – ângulo):

∆BCD ≡ ∆DAB, logo, a propriedade a) é verdadeira.

Se AB ≡ CD e BC ≡ DA, os lados opostos são congruentes, o que prova c).

Como ∆BCD ≡ ∆DAB, med(F) = med(G) e med(Ê) = med(H) e a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°, os ângulos opostos B e D são congruentes, mostrando assim que b) é verdadeira.

Existem ainda outras propriedades relativas aos paralelogramos como:

Em todo paralelogramo, as diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.

Vídeo explicativo:
“Quadriláteros notáveis trapézio e paralelogramo”

Exercícios: teste seus conhecimentos

Resolução dos exercícios propostos:

Referências:

LOPES, Célia. Matemática: ponto de conexão, 8º ano. 2. ed. Curitiba: Base Editorial, 2015.